مقاله ریاضی ماتریس صلاحی نهایی

اختصاصی از یارا فایل مقاله ریاضی ماتریس صلاحی نهایی دانلود با لینک مستقیم و پرسرعت .

فرمت فایل : word(قابل ویرایش)

تعداد صفحات:69

مقدمه :
در ابتدا قبل از پرداختن به بحث روی ماتریس ها به این مسئله که چرا ماتریس ها را به کار می بریم اشاره می کنیم :
ما ماتریس ها را برای مطالعه دستگاه معادلات خطی در فضاهای برداری به کار می بریم. فرض کنیم معادله خطی T:w→v بین دو فضای برداریw  و v داده شده باشد و نیز فرض کنیم یک پایه معمولی از v و یک پایه معمولی ازw داشته باشیم در اینم صورت ما می توانیم بردارهای موجود در w  و v را به عنوان بردارهای ستونی در نظر بگیریم و سپس T را به عنوان ماتریس نشان دهیم.
مطالب اساسی در مورد ماتریس ها:
۱-۱تعاریف:
1-۱-۱مینورها:
برای یک ماتریس   که لزوماً مربعی نیست و برای P>1که P≤ M,n می توان ماتریس (P × P)،    را فقط با نگهداشتن سطر و ستون P- ام از M استخراج کرد که چنین ماتریسی را مینور از مرتبه P می نامیم.

1.1.2 افزارها:
فرض کنید  ، و به صورت   فرمی از A به صورت زیر را یک افزار از A می نامیم:
  که   و m_i و n_j زیر ماتریس های پیوسته   می باشند.

1.1.3 رتبه یک ماتریس.
فرض کنید ماتریس m× n ، A با عملیات سطری به ماتریس پله ای E تقلیل یافته باشد در این صورت تعداد سطر (ستون های) غیر صفر E را رتبه A گوئیم و با rank (A) نشان می دهیم در واقع تعداد سطر (ستون) های مستقل خطی A را رتبه A می گوئیم حال برای  داریم:
 
 
 
1.1.4 مزدوج و ترانهاده مزدوج:
مزدوج ماتریس مختلط A را با   نشان می دهیم ماتریسی است با همان اندازه و درایه   ام آن عبارتست از  . ماتریس   را ترانهاده مزدوج A می نامیم و با   نشان می دهیم. ماتریس های A و B را در نظر بگیرید اگر جمع و ضرب A و B تعریف شده باشد آنگاه داریم:
      

1.1.5 تریس یاردیک ماتریس:
فرض کنید A از مرتبه n باشد تریس A عددی به صورت  می باشد در واقع تریس A مجموع عناصر قطر اصلی یک ماتریس مربعی می باشد. داریم:
اگر A پوچتوان باشد آنگاه  .
 

1.1.6 همسازه یک ماتریس:
همسازه مربوط به موقعیت   ام ماتریس   به صورت زیر تعریف می شود:
  که در آن  ، مینور   به دست آمده از حذف سطر و ستون   ام ماتریس A می باشد همسازه ماتریس A را با   نشان می دهیم. داریم:
(بسط روی سطر i)        
(بسط روی ستون j)        

1.1.7 نمای یک ماتریس:
در این قسمت پایه یعنی K را برابر اعداد مختلط در نظر می گیریم نیز با لحاظ کردن یک سری محدودیت ها میتوان K=R در نظر گرفت. برای   سری   همگرای نرمالی است (به این معنی که نرمهای سری همگرا است.) چون برای هر نرم ماتریسی داریم:
  حال چون   کامل است، سری همگراست. سری فوق را با expA نشان می دهیم حال نگاشت پیوسته   را تعریف کرده و آنرا یک نگاشت نمایی می نامیم در این صورت اگر   آنگاه  expA ϵM_n ( ) می باشد   را نمای ماتریس A می نامیم.

1.1.8 نمایه یک ماتریس:
برای هر ماتریس منفرد   عدد نامنفی k وجود دارد به طوریکه   زیر فضا های مکمل هستند و  . کوچکترین عدد نامنفی k که در این رابطه صدق می کند را نمایه A می نامیم و با index A نشان می دهیم توجه داشته باشید که برای ماتریس های نامنفرد   تعریف می شود.

1.1.9 فضای پوچ یک ماتریس:
برای ماتریس m×n، A مجموعه   فضای پوچ A نامیده می شود به عبارت دیگر   مجموعه جواب های دستگاه همگن   می باشد. حال مجموعه   فضای پوچ چپ A نامیده می شود چون   مجموعه همه جواب های چپ دستگاه همگن   می باشد.
نکته:
اگر   آنگاه:
  اگر و فقط اگر   و   اگر و فقط اگر  
همچنین برای دو ماتریس هم اندازه A و B و نیز   روابط زیر برقرارند:
 
 
 
در روابط فوق اگر A یک ماتریس مختلط باشد به جای ترانهاده از مزدوج آن استفاده خواهیم کرد.

1.1.10 فضاهای سطری و ستونی یک ماتریس:
برای  داریم:
      را فضای به وجود آمده توسط ستون های A می نامیم (فضای ستونی)
یعنی  
      را فضای به وجود آمده توسط سطر های A می نامیم (فضای سطری)
یعنی  
همچنین برد A به صورت یک زیر فضای   از   تعریف می شود که توسط برد   تولید شده است و داریم:
 
به طور مشابه برد AT زیر فضایی از  R^nاست که به صورت زیر تعریف می شود:
 
برای دو ماتریس هم اندازه A و B داریم:
 

 
1.1.11 میدان مقادیر یک ماتریس:
میدان مقادیر ماتریس   به صورت   تعریف می شود که   تابعی از   به زیر مجموعه های صفحه مختلط است. همچنین   را میدان زاویه مقادیر A می نامند. اگر   آنگاه   نیز است همچنین اگر   آنگاه ماتریس یکه   وجود دارد به طوریکه α عنصر   ماتریس   است.
    برای   یک زیر مجموعه کامل و محدب از   است.

1.1.12 مکمل شوریک ماتریس:
فرض کنیم   که   دارای بلوک های قطری مربعی است و A معکوس پذیر است در این صورت   است که فرمول کلی    در حالت 2×2 می باشد ماتریس   را مکمل شور A در M می نامند.

1.2 عملیات مقدماتی و جبری بر روی ماتریس ها:

1.2.1 سطرها و ستون های یک حاصلضرب:

فرض کنید    یک ماتریس   و   یک ماتریس   باشد داریم:
)×B} سطر i^th  از A)=( سطر i^th  از  
)} ستون j^th  از)=A×(B ستون j^th  از  
 
 

1.2.2 دو نوع ضرب ماتریس ها:

ماتریس ها را به روش های  مختلف می توان در هم ضرب کرد که در اینجا به دو نمونه اشاره می کنیم:
الف) ضرب کرونکر یا ضرب تانسوری
ب) ضرب هادامارد
الف) ضرب کرونکر:
 ضرب کرونکر معروف به ضرب تانسوری با ضرب مستقیم از دو ماتریس A_(m×n) و  B_sxt، حاصل می شود که ماتریسی از مرتبه   به صورت زیر است:
 ، توجه داشته باشید که در حالت کلی    
    اگر   در اینصورت  
    ضرب کرونکر   به صورت   است و همیشه  
    حاصلضرب کرونکر دو ماتریس هرمیتی، هرمیتی است.
     ،که
     ، که  
     ، که
 
نکته: مجموع کرونکر دو ماتریس   ماتریسی   است که به صورت   تعریف می شود.
ب) ضرب ها دامارد یا ضرب شور:
ضرب هادامارد از دو ماتریس هم اندازه به صورت زیر تعریف می شود:
 
به ویژه برای   از   داریم:
 
اگر A و B ماتریس های مربعی هم مرتبه باشند آنگاه ضرب هادامارد  به عنوان یک زیر ماتریس