این فایل حاوی جزوه آموزشی تصمیم گیری چند هدفه می باشد که به صورت فرمت PDF در 55 صفحه در اختیار شما عزیزان قرار گرفته است، در صورت تمایل می توانید این محصول را از فروشگاه خریداری و دانلود نمایید.
فهرست
مقدمه
شکل ریاضی مدل های چندهدفه
معرفی مفاهیم اولیه
روشهای حل مسایل چند هدفه
روش تبدیل تابع هدف به محدودیت
روش وزن دهی به اهداف
روش اولویت مطلق
روش معیار جامع
برنامه ریزی آرمانی
تصویر محیط برنامه
دسته بندی : کارآفرینی و طرح توجیهی
فرمت فایل: 
( قابلیت ویرایش و آماده چاپ )
حجم فایل: (در قسمت پایین صفحه درج شده )
تعداد صفحات فایل: 16
کد محصول : 001Shop
قسمتی از محتوای متن
ثروتمندترین مرد کشور مالزی که در حال حاضر در هنگ کنگ اقامت دارد با سرمایه ای معادل 5 میلیارد دلار در لیست ثروتمندترین های سال 2005 جهان قرار گرفته است. اگر چه قرار گرفتن نام او را در این لیست باید به انباشت دارایی هایش نسبت داد اما شهرت او در کشورهای مالزی و حتی کشورهای اطراف تنها به سبب مال و ثروتش نیست. دو ویژگی بارز این پیرمرد 82 ساله که از دوران جوانی همراه او بوده است سبب برتری او از دیگران در اذهان عمومی شده است. ویژگی اول او نحوه زندگی و تعاملات اجتماعی اش می باشد. او حتی در این روزهای پیری و کهنسالی همچون یک نجیب زاده با رعایت تمامی اصول و نرم های اجتماعی در مقابل دیدگان عموم ظاهر می شود. کسانی که سالیان سال همراه او بوده اند هرگز لحظه ای را به یاد نمی آورند که او برخوردی خارج از چارچوب قرار دادی خود به نمایش گذاشته باشد.
ویژگی دوم خنده رویی و خوش برخوردی اوست. این مساله چنان دربین کسانی که با او آشنایی دارند به وضوح به نظر می رسد که آنها به طنز علت شیرینی برخورد او را در سروکار داشتنش با شکر و تجارت آن می دانند. نکته جالب اینجاست که حتی در هنگام عقد قرار دادهای مهم تجاری این خنده رویی و خوش برخوردی بارها و بارها سبب کوتاه آمدن رقبا و طرفین قرار داد شده و پیروزی نهایی او را سبب گشته است. رفتار شیرین او با اطرافیان موجب شده تا مدیران جوانی که هم اکنون تحت تعالیم آموزه های او مشغول فراگیری فنون تجارت هستند،با فراغ خاطر و بی هیچ دغدغه تمامی رمزو رازهای موفقیت در کسب و کار را از او جویا شوند و در سمت های آتی خود به کار برند.
اما در تمامی این مدت علیرغم داشتن این صفات نیکو «kuok» همواره به عنوان مرد شماره یک امپراطوری اش فرمان می راند و بر تمامی امور نظارت دارد مبادا که لحظه ای اهدافش از دیدگان کارمندانش دور بماند و آنها به بیراهه روند.
«Robert kuok Hock-Nien» در سال 1923 در «Johor Bahru» مالزی به دنیا آمد. پدرش یک دلال خرید و فروش مسکن بود که تقریبا سرمایه نسبتا خوبی از این حرفه به دست آورده بود .
«Robert»پس از فارغ التحصیلی از دانشکده «Raffles » در سنگاپور به نزد پدر برگشت تا همراه او به خرید و فروش زمین و مسکن مشغول گردد. د رسال 1949 ، «Robert» شرکت خود را تحت عنوان «kuok brothers Sdn Bhd» به ثبت رساند و اندکی بعد تصمیم گرفت شرکت را وارد معاملات شکر نماید. در سال 1957 که مالزی خود را از چنگال استعمار انگلستان در آورد و به استقلال رسید«kuok» فرصت را غنیمت شمرد و تجارت خود را در سراسر این کشور گسترانید و در فاصله زمانی بسیار اندک تقریبا تمام تجارت شکر را از آن خود نمود . در دهه 1970 ، «kuok» که درصد مهمی از تجارت شکر در سراسر دنیا را از آن خود کرده بود از سوی بازرگانان به لقب « سلطان شکر » خوانده شد و پس از آن به سرعت به سراغ تجارت دیگری در کنار شکر رفت تا مبادا از جریان بازار و نوسانات آن به ناگاه متضرر نگردد.
صنعت آرد اولین صنعتی بود که بعد از شکر به سراغش رفت. با نصب بزرگترین آسیاب آرد در مالزی به راحتی کنترل این محصول را در اختیار گرفت و به سرعت روانه بازارهای خارجی شد. چندی بعد به ساخت هتل های مختلف در مالزی روی آورد و پس از آن بانکی بنا کرد. اوضاع قرار دادهای تجاری او به شکلی شده بود که به سبب هوش بالا و همچنین روابط دولتی که به دست آورده بود، به هر حرفه ای رو می کرد ، در یک چشم بر هم زدن تبدیل به طلا می شد و سودهای فراوانی به سوی او سرازیر می نمود. دیگر کسی نمی توانست او را تنها سلطان شکر بنامد، حضور او در بازار آرد، نفت و گاز ، هتل سازی ، حمل و نقل و زمین و مسکن نیز تقریبا در نقش یک سلطان تمام عیار بود.
تقریبا فرای از شرکت ها و دفاتر و هتل های فراوانی که در مالزی دارد، «kuok » در کشورهایی چون تایلند ، چین ، اندونزی ، فیجی و استرالیا نیز نقش های مهمی در بازار این محصولات ایفا می نمایدو در آنها نیز شعبات بزرگ و گسترده ای دارد. نکته پایانی اینکه افزایش سرمایه او از 1/2 میلیارد دلار در سال 1997 به 5 میلیارد دلار در سال 2005 نشان از آن دارد که کهولت سن هیچ تاثیر نامطلوبی در روند روبه رشد بازرگانی او نداشته و نخواهد داشت.
خیلی از پدر و مادرها از اینکه فرزندانشان علاقه‌ای به خوردن صبحانه ندارند، گله‌مند هستند و خیلی‌های دیگر نیز اصلاً وقت خوردن صبحانه و درست کردن چای و خرید نان تازه و این قبیل کارها را ندارند. شاید بهتر است بگویم حوصله این کارها را ندارند. اما اگر کمی تغییر در خوراک صبحانه به‌وجود آید و به قول معروف برای بچه‌ها میز صبحانه را جذاب‌تر کنیم، مسلماً خواهید دید اشتیاق کودکان به خوردن صبحانه بیشتر می‌شود.
پزشکان مهمترین وعده غذایی روز را صبحانه می‌دانند و حتی افراد چاق را به خوردن صبحان تشویق می‌کنند. اروپاییان که در صنعت غذاسازی از ما جلوتر هستند دایماً در حال معرفی خوراکی‌های جدید هستند و ما همچنان نان و پنیر و کره را برسر میز صبحانه می گذاریم. هر چند هیچ ایرادی در نان و پنیر و ... نیست ولی بهتر است برای خوراندن آن به بعضی از فرزندانتان سفره صبحانه را جذاب‌تر کنید. این مشکل نه قفط در بین ما که در بین غربی‌ها هم مشهود بوده است. به همین خاطر در دهه 1940 یک شرکت اروپایی، محصول جدیدی به نام «نوتلا» (Nuttella) به کسانی که علاقه‌ای به خوردن صبحانه به‌طور سنتی نداشتند، معرفی کرد. تا به امروز تقریباً سه نسل از اروپاییان با خوردن «نوتلا» بزرگ شده‌اند. «نوتلا» را «پیترو فررو» که یک کلوچه‌ساز و شیرینی‌پز بود در شرکت «فررو» تهیه کرد.
در آن زمان براثر جنگ جهانی دوم، کاکائو کمیاب بود و به همین دلیل «فررو» کاکائو را با فندق برشته شده، روغن کاکائو و روغن گیاهی مخلوط کرد تا یک خوراکی جدید به صرفه برای مالیدن روی نان به نام «پاستا جون دوجا» تهیه کند. در فوریه 1946، میلادی 660 پوند از این محصول فروخته شد. «فررو» برای اینکه بتواند جوابگوی این همه تقاضا باشد، با کشاورزان محلی صحبت کرد تا بیشتر به تولید فندق بپردازند. در سال 1946 «فررو» محصول «سوپر کرم جون دوجا» را تهیه کرد که ارزان‌تر بود.
این خوراکی آن قدر مورد استقبال قرار گرفت که سوپر مارکت‌های ایتالیا سرویس جدیدی را برای مشتریان خود به نام آغشتن راه انداختند. کودکان ایتالیایی می‌توانستند با یک تکه نان به این سوپر مارکت‌ها بروند. و سراغ این سرویس را بگیرند و سپس خدمه سوپر مارکت با یک چاقو نان بچه‌ها را شکلاتی می‌کردند. در سال 1964،این خوراکی به «نوتلا» تغییر نام داد و بازاریابی برای آن در خارج از ایتالیا آغاز شد. امروزه «نوتلا» پرطرفدارترین غذای خامه مانند در اروپا به شمار می‌رود.
در آلمان «نوتلا» پرطرفدارترین غذای صبحانه است. در ایتالیا و فرانسه نیز «نوتلا» پس از بازگشت از مدرسه در بین دانش‌آموزان محبوب است. «میچل فررو» متولد 1927 و یکی از میلیاردرهای جهان اکنون مالک شرکت فررو، است.
«میچل فررو» ایتالیایی در سال 2002 شکلات سازی Ferrero SPA، یکی از بزرگترین شکلات‌سازی‌های اروپا را با فروش 4 میلیارددلار در اختیار خود گرفته است. از مارک‌های معروف این شرکت Ferrero Rocher، Nuttella و همچنین Kinder Eggs یا همان تخم‌مرغ شانسی را می‌توان نام برد. تخم‌مرغ شانسی‌های «فررو» در سال 1974 روانه بازار شد. تخم‌مرغ شانسی‌ها شکلاتی هستند و داخل آنها اسباب‌بازی مخصوص کودکان قرار دارد که معمولاً جنبه کلکسیونی برای بچه‌ها دارد و همین باعث می‌شود که مدام به خرید آنها علاقه پیدا کنند. هر چند طعم خوشمزه آنها را نیز نباید فراموش کرد. البته اسباب‌بازی‌های داخل تخم‌مرغ شانسی‌ها به خاطر داشتن قطعات ریز برای کودکان زیر سه سال اصلاً مناسب نیست. اسباب‌بازی موجود در «Kinder Eggs» ساخت یک شرکت کوچک در تورین ایتالیا به نام «Produzioni Editoriali Aprile» است که موسس آن دو برادر هستند.
متن کامل را می توانید بعد از پرداخت آنلاین ، آنی دانلود نمائید، چون فقط تکه هایی از متن به صورت نمونه در این صفحه درج شده است.
پس از پرداخت، لینک دانلود را دریافت می کنید و ۱ لینک هم برای ایمیل شما به صورت اتوماتیک ارسال خواهد شد.
« پشتیبانی مرجع فایل »
همچنان شما میتوانید قبل از خرید، با پشتیبانی فروشگاه در ارتباط باشید، یا فایل مورد نظرخود را با تخفیف اخذ نمایید.
ایمیل : Marjafile.ir@gmail.com
پشتیبانی فروشگاه : پشتیبانی مرجع فایل دات آی آر
پشتیبانی تلگرام و خرید
پشتیبانی ربات فروشگاه :
به زودی ...
امروزه با توسعه فضای شهری، پیچیده تر شدن نقل و انتقالات در این فضا نیز رو رشد بوده است و برای رسیدن به مقصد و دقدقه های فراوانی بروز نموده اند که با در اختیار نبودن زمان کافی حرکت در کوتاهترین و مناسب ترین مسیر که در آن اختلالی بوجود نیاید، به یک ضرورت تبدیل شده است. از اینرو افزایش قابلیت اطمینان مسیر های ارتباطی در قالب یک هدف مجزا از یک سو و پرداخت کمترین هزینه در قالب هدف دیگر که در تعارض محض با یکدیگر اند، مساله مهمی است که این مقاله با طراحی یک مدل برنامه ریزی عدد صحیح مکان یابی محور برای حل آن و ایجاد تعادلی منطقی بین این دو هدف توانسته گامی مثبت بردارد. برای نمایش هر چه بهتر نتایج ارزشمند مدل معرفی شده از نمونه مطالعاتی شهر کرمانشاه بهره برده شده است.
تحقیق تفسیر چند آیه از سوره اعراف و حج در 22 صفحه با فرمت ورد شامل بخش های زیر می باشد:
تفسیر و ترجمه آیه 97 سوره اعراف
ترجمه و تفسیر آیه 99 سوره اعراف
ترجمه و تفسیر آیه 78 سوره الحج
تفسیر و ترجمه آیه 97 سوره اعراف
أَفَأَمِنَ أَهْلُ الْقُرَى أَن یَأْتِیَهُمْ بَأْسُنَا بَیَاتاً وَهُمْ نَآئِمُونَ
ترجمه : آیا مردم قریه ها پنداشتند از اینکه عذاب ما شب هنگام که به خواب رفته اند بر سر آنها بیاید ، در امانند
تفسیر المیزان :
کلمه « بیات » و همچنین « تبییت » به معناى شبیخون و شبانه بر سر دشمن تاختن است ، که یک نوع مکر به شمار مى رود، براى اینکه شب ، هنگام خفتن و آسایش انسان است ، و طبع آدمى متمایل به استراحت و صرفنظر کردن از هر کار دیگرى است .
این جمله متفرع بر ما قبل خود ذکر شده ، و بنابراین ، معنایش این مى شود که : وقتى حال جمعیت ها اینچنین بوده که با رسیدن نعمت هاى مادى و محسوس ، مغرور و از عالم ماوراى حس غافل مى شدند، عذاب خدا بدون اطلاع قبلى آنان و بطور ناگهان ، همه را نابود مى کرده ، آیا با این حال جمعیت ها مى توانند از عذابى که شبانه و در حال خواب آنها را از بین ببرد ایمن بوده باشند؟.
ترجمه و تفسیر آیه 99 سوره اعراف
أَفَأَمِنُواْ مَکْرَ اللّهِ فَلاَ یَأْمَنُ مَکْرَ اللّهِ إِلاَّ الْقَوْمُ الْخَاسِرُونَ
ترجمه : آیا پنداشتند که از مکر خدا در امانند ? از مکر خدا جز زیانکاران ایمن ، ننشینند
تفسیر المیزان :
کلمه « مکر» به معناى این است که شخصى دیگرى را غافل گیر کرده و به او آسیبى برساند، این عمل از خداى تعالى وقتى صحیح است که به عنوان مجازات صورت بگیرد، انسان معصیتى کند که مستحق عذاب شود، و خداوند او را از آنجایى که خودش نفهمد معذب نماید و یا سرنوشتى براى او تنظیم کند که او خودش با پاى خود و غافل از سرنوشت خود بسوى عذاب برود، و اما مکر ابتدایى و بدون اینکه بنده معصیتى کرده باشد، البته صدورش از خداوند ممتنع است ، و ما این معنا را مکرر خاطرنشان کرده ایم .
نکته بسیار لطیفى در این سه آیه یعنى آیه « افامن اهل القرى » و آیه « او امن اهل القرى » و آیه « افامنوا مکر الله » بکار رفته و آن این است که در دو آیه اول فاعل « امن » را اسم ظاهر (اهل القرى ) آورده ، با اینکه ممکن بود در آیه دومى ضمیر بیاورد و بفرماید: « اوامنوا» لیکن این کار را نکرد تا ضمیر در آیه سومى که فاعل فعل است به هر دو آیه برگشته و در نتیجه جمعیت هلاک شده در خواب غیر از جمعیتى به حساب آید که در حالت غفلت و لعب دستخوش عذاب شدند.
و اما اینکه فرمود: « فلا یامن مکر الله الا القوم الخاسرون » جهتش را در آیه اول بیان کرد، و آن این بود که فرمود: ایمن بودن از مکر خدا در حقیقت خود مکرى است از خداى تعالى که دنبالش عذاب است ، پس صحیح است گفته شود: مردم ایمن از مکر خدا زیانکارانند، زیرا همان ایمنى شان هم مکر خدا است .
تفسیر نمونه :
عمران و آبادى در سایه ایمان و تقوى
در آیات گذشته سرگذشت اقوامى همچون قوم هود و صالح و شعیب و نوح و لوط بطور اجمال مورد بحث واقع شد، گرچه خود آن آیات به اندازه کافى براى بیان نتائج عبرت انگیز این سرگذشتها کافى بود، ولى در آیات مورد بحث به صورت گویاتر، نتیجه گیرى کرده ، مى گوید: اگر مردمى که در این آبادیها و نقاط دیگر روى زمین زندگى داشته و دارند، به جاى طغیان و سرکشى و تکذیب آیات پروردگار و ظلم و فساد، ایمان مى آوردند، و در پرتو آن تقوا و پرهیزکارى پیشه مى کردند، نه تنها مورد خشم پروردگار و مجازات الهى واقع نمى شدند، بلکه درهاى برکات آسمان و زمین را به روى آنها مى گشودیم (و لو ان اهل القرى آمنوا و اتقوا لفتحنا علیهم برکات من السماء و الارض )....
لینک پرداخت و دانلود *پایین مطلب*
فرمت فایل:Word (قابل ویرایش و آماده پرینت)
تعداد صفحه: 13
اجتماع توابع-توابع چند ضابطه‌ای
بسیار اتفاق می‌افتند که مقدار یک تابع در سراسر دامنه‌اش با یک ضابطه مشخص نمی‌شود مثلاً ممکن است دامنه تابع f که آن را X می‌نامیم را به n مجموعه X1,X2,X3,...,Xn افراز کنیم و تابع f با دامنه X را برای هر x?Xi به صورت (f(x)=fi(x تعریف کنیم که در آن fi تابعی با دامنه Xi است. همچنین در این صورت می‌توان تابع f را برای هر x از دامنه به صورت زیر نوشت:
در این صورت f را تابعی با n ضابطه می‌گوییم.n در مثالی دیگر فرض کنید f:X?Y و g:Z?W دو تابع باشند که برای هر x متعلق به اشتراک X و Y (اشتراک دامنه f,g) داشته باشیم (f(x)=g(x. در این صورت تابع اجتماع دو تابع f,g را به صورت زیر تعریف می کنیم:
برخواننده است که خوش تعریفی این تابع را تحقیق کند. این مفهوم را می‌توان گسترش داد یعنی اگر خانواده‌ای از مجموعه‌های دو به دو جدا از هم باشد و برای هر fi,i?I تابعی با دامنه Ai باشد، می‌توان تابع f، اجتماع توابع fi برای هر i?I را با دامنه را به صورت برای هر x از دامنه به صورت (x) f(x)=fi اگر x?Ai تعریف کرد. در ادامه نمونه‌هایی از توابع چند ضابطه‌ای را خواهید دید.
نمودار تابع
منظور از نمودار یک تابع f:X?Y به تصویر کشیدن تناظری است که f بین دو مجوعه X و Y ایجاد می‌کند. برای این کار برای همه وابط و بلاخص توابع عموماً از نمودار پیکانی استفاده می‌شود. برای رسم نمودار پیکانی تابع f:X?Y، دو منحنی بسته، نظیر آنچه در نمودار ون استفاده می‌شود را برای نمایش مجموعه X و Y انتخاب می‌کنیم و عناصر هر یک را به‌وسیله نقاطی در آنها مشخص می‌کنیم. سپس بین هر عضو x?X و (f(x یک پیکان از x به (f(x به نشانه تناظر بین آن دو رسم می‌کنیم. به عنوان مثال اگر {X={1,2,3,4,5 و {Y={a,b,c,d,e و f:X?Y به صورت {(f={(1,a),(2,b),(3,c),(4,d),(5,d تعریف شده
این روش گرچه مناسب است ولی برای نمایش همه توابع بویژه توابعی با دامنه اعداد حقیقی(و به طور کلی توابعی که عددی هستند) چندان کاربرد ندارد. اگر f تابعی با دامنه اعداد حقیقی R باشد آن را تابع حقیقی می‌گوییم و برای نمایش نمودار آن از دستگاه مختصات دکارتی استفاده می‌کنیم و روش کار به این صورت است که برای هر x € R زوج مرتب ((x,f(x) که نماینده نقطه‌ای در صفحه دکارتی است را رسم می‌کنیم و به این ترتیب نمودار تابع f حاصل می‌شود. رسم نمودار تابع، باعث می‌شود دیدی کلی نسبت به آن تابع پیدا کنیم و همچنین بسیاری از خواص مربوط به توابع بویژه توابع حقیقی مانند پیوستگی، مشتق پذیری، نقاط بحرانی و عطف، صعودی یا نزولی بودن و... از روی نمودار آنها قابل تعیین است. به عنوان مثال با بررسی شکل(4) می‌توان گفت این تابع در چه بازه‌هایی صعودی و در چه بازه‌هایی نزولی است، این تابع در سراسر دامنه خود پیوسته و مشتق پذیر است، دارای دو نقطه بحرانی و یک نقطه عطف است و ... .
همچنین از روی نمودار یک رابطه می‌توان تابع بودن آن را بررسی کرد. به عنوان مثال نمودار شکل(1) معرف یک تابع نمی‌باشد چون عضو 3 به دو مقدار متناظر شده است. همچنین در نمودار رسم شده در دستگاه دکارتی در شکل مقابل، وضوحاً برای هر عدد حقیقی مثبت x تابع دارای دو مقدار است. به طور کلی یک نمودار در دستگاه مختصات دکارتی یک تابع است اگر هر خط عمودی مرسوم بر محور x ها نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع کند.
تابع یک به یک و پوشا
فرض کنید f:X?Y یک تابع باشد. در اینصورت برای تناظری که بین اعضای X و Y به‌وسیله تابع f برقرار می‌شود حالات مختلفی را می‌توان تصور کرد.
اولین حالت اینکه ممکن است به ازای هر y متعلق به برد تابع f، تنها یک x در دامنه موجود باشد که (y=f(x. این شرط را می‌توان چنین فرمول بندی کرد که اگر به ازایX x1,x2€داشته باشیم f(x2) =( f(x1آنگاه 2x =1x یا:
چنین تابعی را با این ویژگی یک تابع یک به یک(تک گزین) یا انژکتیو می‌گوییم. یک به یک بودن تابع f را گاهی برای اختصار با نماد 1-1 نشان می‌دهند. در چنین حالتی ضمن اینکه بدلیل تابع بودن f هیچ دو زوج مرتبی از f دارای مولفه اول یکسان نمی‌باشند، به دلیل یک به یک بودن هیچ دو زوج مرتبی از f دارای مولفه دوم یکسان نیز نمی‌باشند. به عنوان مثال R? f: Rبه ضابطه 2f(x)=x یک به یک نمی‌باشد چرا که اگر f(x2)=( f(x1در این صورت اما الزاماً این نتیجه نمی‌دهد 2x =1x پس تابع یک به یک نمی‌باشد.
یک به یک بودن یک تابع از روی نمودار تابع نیز قابل بررسی است. در نمودار پیکانی تابع یک به یک f، وضوحاً به هر عضو از همدامنه f انتهای حداکثر یک پیکان وارد شده است. به این ترتیب نمودار پیکانی شکل(2) نمایش گر یک تابع غیر یک به یک است. همچنین نمودار یک تابع حقیقی یک به یک به گونه‌ای است که هر خط موازی محور x ها، نمودار آن را حداکثر در یک نقطه قطع می‌کند. به این ترتیب نمودار شکل(4) مربوط به تابعی غیر یک به یک است.
همانطور که در گذشته نیز اشاره شد در تابع f:X?Y برد f ممکن است دقیقاً برابر مجموعه Y نباشد، ولی همواره زیرمجموعه‌ای از Y است.حال اگر برد تابع f برابر مجموعه Y باشد یعنیran f=y در این صورت هر عضو Y تصویر یک عضو مجموعه X تحت f خواهد بود. یعنی برای هر y?Y، عضوی چون x?X وجود دارد که (y=f(x. در این حالت تابع f:X?Y را تابع پوشا(برو) یا سوژکتیو می‌گویند و به اصطلاح می‌گویند f مجموعه X را بروی Y می‌نگارد.
این نکته بسیار حایز اهمیت است، چرا که در مورد نماد f:X?Y دو گزاره f تابعی از X به توی Y است و f تابعی از X به روی Y است با هم تفاوت دارند و گزاره دوم چیزی بیش از گزاره اول یعنی پوشا بودن تابع f را نیز بیان می‌کند.
پس تابع f:X?Y یک تابع پوشا(برو) است هرگاه:
اگر f:X?Y یک تابع غیر پوشا باشد، یک راه برای پوشا کردن تابع f تحدید همدامنه آن به برد f است. به عبارت دیگر می‌توان اعضایی از مجموعه Y(همدامنه) که تصویر هیچ عضوی از X نمی‌باشند(یعنی متعلق به برد تابع نمی‌باشند) را حذف نمود در این صورت تابع f از X به مجموعه تقلیل داده شده تابعی پوشا خواهد بود. مجموعه‌ای که می‌توان Yرا به آن تحدید نمود و تابعی پوشا بدست آور تصویر X تحت f با همان (f(X است که همانطور که در بالا نیز اشاره شد، این مجموعه همان برد تابع است.
بنابر این اگر f:X?Y یک تابع باشد تابع (f:X?f(X تابعی پوشا است و این از تعریف (f(X قابل اثبات است. به عنوان مثال R? f: R ه ضابطه 2f(x)=x یک تابع پوشا نمی‌باشد. چرا که اعداد حقیقی منفی در همدامنه f(همان مجموعه R) تصویر هیچ عضوی از دامنه خود نمی‌باشند، چرا که مربع هیچ عدد حقیقی منفی نیست. اما تابع R? f: R یک تابع پوشا است چون برای هر y € R می‌توان قرار داد و داریم و لذا f پوشا است.
حال که با مفاهیم یک به یک بودن و پوشا بودن آشنا شدیم وضوحاً یک تابع نسبت به دارای بودن این خواص می‌تواند چهار حالت مختلف باشد. یک حالت جالب توجه و بسیار مهم زمانی است که یک تابع هم یک به یک و هم پوشا باشد. چنین تابعی را تناظر یک به یک یا دو سویی یا بیژکتیو می‌گوییم. به عنوان مثال تابع 3f(x)=x بر مجموعه اعداد حقیقی یک تناظر یک به یک است. از نمودار پیکانی مقابل میتوانید ببینید که چنین تابعی دارای چه ویژگی خاصی است. وجود چنین تابعی بین دو مجموعه متناهی ایجاب می‌کند تعداد اعضای آنها با هم برابر باشد. این مطلب در حالت کلی نیز درست است. یعنی اگر تابعی دوسویی بین دو مجموعه(خواه متناهی یا غیرمتناهی) برقرار باشد عدد اصلی آن دو مجموعه با هم برابر است. از توابع دوسویی برای بسیاری از تعاریف در نظریه مجموعه‌ها مثلاً تشابه مجموعه‌های خوشترتیب یا تعریف همتوانی دو مجموعه استفاده می‌شود.
مجموعه توابع
اگر X و Y دو مجوعه باشند مجموعه همه توابع از مجموعه X به مجموعه Y را با YX نشان می‌دهیم و بنابه تعریف داریم:
عدد اصلی این مجموعه را نیز می‌توان به صورت زیر بدست آورد(برای اثبات به مقاله حساب اعداد اصلی رجوع کنید.):
card(YX) = (cardY)cardX
از رابطه فوق نتیجه می‌شود اگر X مجوعه‌ای n عضوی و Y مجموعه‌ای m عضوی باشد تعداد توابع قابل تعریف از مجوعه X به مجموعه Y برابر است با mn که البته برای اثبات این مسئله خاص راه حل ترکیباتی هم وجود دارد. توضیح اینکه اگر بخواهیم تابع f:X?Y را تعریف کنیم هر عضو از n عضو مجموعه X چون x?X، را می‌توان به m طریق به یک عضو از مجموعه Y نسبت داد. پس بنا بر اصل شمارش تعریف چنین تابعی به mn طریق ممکن خواهد بود.
حال فرض کنید f:X?Y یک تابع باشد و X مجموعه‌ای n عضوی و Y مجموعه‌ای m عضوی باشند.
در این صورت اگر m?n می‌توان f را به صورت تابعی یک به یک بین دو مجموعه X و Y تعریف کرد. برای این کار کافی است n عضو را از بین m عضو مجموعه Y انتخاب کنیم و بیاد داشته باشید که ترتیب انتخاب اعضا نیز مهم است و لذا تعداد توابع یک به یک قابل تعریف برابر است با جایگشت n شی از m شی که برابر است با:
همچنین اگر n?m، می‌توان f را به صورت تابعی پوشا نیز تعریف کرد که تعداد توابع پوشا از مجموعه X به مجموعه Y برابر است با:
که البته اثبات آن به‌وسیله اصل شمول و عدم شمول انجام پذیر است و بدلیل طولانی بودن از ارائه برهان آن خودداری می‌کنیم. همچنین تعداد توابع دوسویی روی مجوعه n عضوی X برابر است با !n.
این فقط قسمتی از متن مقاله است . جهت دریافت کل متن مقاله ، لطفا آن را خریداری نمایید