دانلود تحقیق معادلات لاپلاس

اختصاصی از یارا فایل دانلود تحقیق معادلات لاپلاس دانلود با لینک مستقیم و پرسرعت .

فرمت فایل : word(قابل ویرایش)

تعداد صفحات:22

چکیده:

تبدیلات لاپلاس ( Laplace Transformation )
تعریف
فرض کنید تابع f( t ) روی <∞ t ≤ 0 تعریف شده باشد و s یک عدد حقیقی باشد. در این صورت
f(s)=∫_0^∞▒e^(-st)  f( t )dt                   (1)
که برای محاسبه انتگرال ( 1 ) داریم:
 l{f( t )}=f( s )=lim┬(b→∞)⁡〖∫_0^b▒e^(-st)  f( t )dt〗
نکته: f( s ) را معمولاً با L{ f( t ) } نیز نمایش می دهند.
l{f(t)}=f(s)↔f(t)=l^(-1)  {f(s)}
مثال:
تبدیلات لاپلاس توابع زیر را به دست آورید.
(1 f( t )=1
f(s)=lim┬(b→∞)⁡∫_0^b▒〖e^(-st) dt=lim┬(b→∞)⁡〖(1/(-s)  e^(-st)  ]b¦0)= (1/(-s))  lim┬(b→∞)⁡(e^(-sb)-1)  〗 〗
s>0=((-1)/s)(-1)=1/s   
l{1}=1/s
                                                                                                                                                                            (2f( t )=k                   ثابت  k
f(s)=k/s                 s>0
3)  f( t )=t             
f(s)=lim┬(b→∞)⁡〖∫_0^b▒e^(-st) *t dt〗     
f(s)=lim┬(b→∞)⁡〖(t/(-s) e^(-st)-e^(-st)/s^2 )]b¦0=├ lim┬(b→∞)⁡(〖-e〗^(-st) (t/s+1/s^2 )) ]  b¦0〗
〖〖=lim〗┬(b→∞) [〖-e〗^(-sb) (b/s+1/s^2 )-(-1(1/s^2 ))]〗⁡〖=1/s^2 〗
با این شرط : s>0

 (4f( t )=t^n      n∈N
f(s)=n!/s^((n+1) )          s>0
5₎ f(t)=e^at                         عدد ثابت a
f(s)=lim┬(b→∞)⁡∫_0^b▒e^(-st)  e^at  dt=lim┬(b→∞)⁡∫_0^b▒e^t(a-s)   dt=   lim┬(b→∞)⁡〖1/(a-s)〗 ├ e^(a-s)t ]  b¦0
=(1/(a-s))   lim┬(b→∞)⁡(e^(a-s)b-1)=1/(a-s) (-1)=1/(s-a)         a<s

(6f( t )=cos at
f(s)=〖lim┬(b→∞) ∫_0^b▒〖e^(-st).cos⁡at 〗〗⁡dt                                                                        I=∫▒〖e^(-st).cos⁡〖at    I=cos⁡at  e^(-st)/(-s)+a sin⁡at  e^(-st)/s^2 +(〖-a〗^2/s^2 ) ∫▒〖cos⁡at e^(-st) dt〗〗 〗
I(1+a^2/s^2 )=e^(-st) (cos⁡at/(-s)+(a sin⁡at)/s^2 )    →
I=e^(-st)/(1+a^2/s^2 ) (cos⁡at/(-s)+(a sin⁡at)/s^2 )
f(s)=lim┬(b→∞)⁡(e^(-st)/(1+a^2/s^2 )) (cos⁡at/(-s)+(a sin⁡at)/s^2 )]■(b@0)=1/(1+a^2/s^2 ) [-(1/(-s))]
=s^2/(s^2+a^2 ) (1/s)=s/(s^2+a^2 )       s>0
                                                                                             (7 f(t)=sin⁡at               
f(s)=a/(s^2+a^2 )           s>0
تمرین
تبدیل لاپلاس توابع زیر را به دست آورید.      
(1 f(t)=t^2
f(s)=2/s^3
(2 f(t)=e^2t
f(s)=1/(s-2)
(3 f(t)=sin⁡4t
f(s)=4/(s^2+16)
 (4f(t)={█(at,&t>0@0,&t≤0)┤
f(s)=a/s^2
قضیه: خاصیت خطی بودن
l{c_1 f_1 (t)+c_2 f_2 (t)}=c_1 l{f_1 (t)}+c_2 l{f_2 (t)}
 تمرین
 (1f(t)=2t+1
2l{t}+{1}=2/s^2 +1/s=(2+s)/s^2
 (2f(t)=2 cos⁡2t
2l{cos⁡2t }=2s/(s^2+4)
 (3f(t)=〖cos〗^2⁡t
(1+cos⁡2t)/2=l{1/2+cos⁡2t/2}=1/2s+s/((2s^2+8) )
 (4f(t)=(1+t)^2   
l{1+2t+t^2 }=1/s+2/s^2 +2/s^3
 (5f(t)=2 sin⁡t+t^2
2/(s^2+1)+2/s^3
 (6f(t)=cosh⁡t+t/2
l{(e^t+e^(-t))/2+t/2}=1/2 (1/(s-1)+1/(s+1)+1/s^2 )