لینک دانلود و خرید پایین توضیحات
فرمت فایل word و قابل ویرایش و پرینت
تعداد صفحات: 21
مشتق
مشتق یا محاسبۀ دیفرانسیلی، بخش اول آنالیز ریاضی است که نرخ لحظه‌ای (یا نقطه‌ای) تغییرات تابع را نشان می‌دهد. این مفهوم در سال ۱۶۶۶ میلادی، نخستین بار توسط نیوتون و به فاصلۀ چند سال بعد از او، توسط لایب نیتس، مستقل از یکدیگر پدید آمد. این دو دانشمند در ادامۀ کار خود، باز هم به طور مستقل، بخش دوم آنالیز ریاضی یعنی محاسبۀ انتگرالی را عرضه کردند که اساس آن بر عمل انتگرال‌گیری قرار دارد.
نیوتون از شیوۀ استدلال سینماتیک و با دیدگاه فیزیکی به بررسی مشتق پرداخته و از آن برای بدست آوردن سرعت لحظه‌ای استفاده می‌کرد. اما لایب نیتس با دیگاهی هندسی، از مشتق برای بدست آوردن ضریب زاویۀ مماس در منحنی‌ها استفاده می‌کرد. هر یک از این دو دانشمند نمادهای جداگانه‌ای را برای نشان دادن مشتق به کار می‌بردند.
پیشرفت محاسبۀ دیفرانسیلی و انتگرالی در دوران بعد به برادران برنولی، یعنی یاکوب و یوهان، مربوط می‌شود. لوپیتال، دانشمند فرانسوی، در سال ۱۸۹۶ نخستین کتاب درسی مربوط به آنالیز ریاضی را با نام «آنالیز بی‌نهایت کوچک‌ها برای بررسی منحنی‌ها» منتشر کرد که در واقع خلاصه‌ای از درس‌هایی بود که یوهان برنولی به عنوان معلم برای او نوشته بود. در این کتاب درسی، قاعدۀ رفع ابهام در حد با استفاده از مشتق نیز آمده که امروزه به نام قاعدۀ هوپیتال مشهور است ولی در واقع، متعلق به یوهان برنولی بوده‌است
تعریف
برای تابع /که در همسایگی نقطۀ /تعریف شده‌است، اگر /وجود داشته باشد، /در /مشتق‌پذیر است. این حد یکتا را با /نمایش داده و آن را مشتق تابع /در نقطۀ /می‌نامند.
بر طبق این تعریف، مقدار مشتق برابر نرخ تغییرات مقدار تابع است زمانی که تغییرات مربوط به متغیر مستقل به سمت صفر میل می‌کند.
با تبدیل /به /تعریف دوم مشتق به صورت زیر حاصل می‌شود:
/
نمادهای مشتق
لایب نیتس، لاگرانژ، اویلر و نیوتون هر یک نماد جداگانه‌ای را برای نمایش مشتق بکار می‌بردند که در کل مشتق را می‌توان با نمادهای زیر نشان داد:
/یا /که نمایش دیفرانسیلی مشتق نامیده می‌شود، در سال ۱۶۷۵ میلادی توسط لایب نیتس وضع گردید و برای نمایش مشتق مراتب بالاتر به صورت /یا /نوشته می‌شود.
/یا /در سال ۱۷۷۴ میلادی توسط لاگرانژ مورد استفاده قرار گرفت. مشتق مراتب بالاتر با استفاده از این نماد به صورت /(مشتق اول)، /(مشتق دوم)، /(مشتق سوم)، /(مشتق چهارم) ... /(مشتق /ام) نشان داده می‌شود.
/یا /که اویلر در آن‌ها از عملگر دیفرانسیلی /استفاده کرده‌است و به صورت /مشتق مراتب بالاتر را نشان می‌دهد.
نیوتون برای نشان دادن مشتق اول از /و برای مشتق دوم از /استفاده می‌کرد.
مشتق‌های یک طرفه
مشتق راست: اگر تابع /در فاصلۀ /تعریف شده باشد آنگاه حاصل حد زیر، در صورت وجود، مشتق تابع در /می‌باشد:
/
مشتق چپ: اگر تابع /در فاصلۀ /تعریف شده باشد آنگاه حاصل حد، زیر در صورت وجود، مشتق تابع در /می‌باشد:
/
مشتق‌پذیری
تابع /در /مشتق‌پذیر است هرگاه در این نقطه پیوسته باشد و مشتق چپ و راست تابع با هم برابر و مساوی یک عدد حقیقی معین باشد.
تعبیر هندسی مشتق‌پذیری: تابع /در /مشتق‌پذیر است هرگاه بتوان در این نقطه یک خط کامل مماس و غیر موازی با محور yها بر منحنی رسم کرد.
اگر تابع /در نقطۀ /مشتق‌پذیر باشد، آنگاه در آن نقطه پیوسته نیز هست.
ولی عکس قضیۀ فوق صحیح نمی‌باشد یعنی ممکن است تابع پیوسته باشد اما مشتق‌پذیر نباشد؛ به عبارت دیگر، پیوستگی تابع در /شرط لازم برای مشتق‌پذیری تابع است، نه شرط کافی. پس اگر تابع /در /ناپیوسته باشد، آنگاه در /مشتق‌پذیر نیست.
تحقیق در مورد مشتق