روش ژاکوبی در واقع تعمیمی از روش سیمپلکس برای حل مسائل خطی میباشد یا به عبارت دیگر روش ژاکوبی در حالتی خاص همان روش سیمپلکس میباشد
بخش دیگری از متن مقاله:
برای شناسایی نقاط بحرانی از شرایط کافی به شرح زیر استفاده می کنیم:
شرایط کافی برای نقطة بحرانی جهت اکسترمم بودن آن است که ماتریس هسیان محاسبه شده در نقطه
برای روشن کردن این مفهوم تابع f(x1 , x2) را در نظر می گیریم. هدف می نیمم کردن تابع با توجه به محدودیت g1(x1 , x2) = x2 – b=0 میباشد. (b ثابت است.) منحنی ایجاد شده توسط سه نقطة C , B , A مقادیری از f را نمایش میدهد که محدودیت اعمال شده همواره برآورده می گردد. روش ژاکوبی، گرادیان f(x1 , x2) را در هر نقطه ای از منحنی ABC تعریف میکند. هر نقطه ای که مشتق آن برابر صفر گردد نشان دهنده یک نقطه بحرانی برای این مسئله مقید میباشد که در شکل زیر نقطة B ، نقطه موردنظر میباشد.
با استفاده از ق تیلور برای نقاط در همسایگی قابل قبول x داریم:
هنگامی که خواهیم داشت:
و از آنجا که g(x)=0 در نتیجه بنابراین خواهیم داشت:
حال یک دستگاه با (n+1) مجهول و (m+1) معادله خواهیم داشت که مجهولاتمان درایههای می باشند با مشخص شدن پیدا میشود. و این بدان معناست که در واقع m معادله با n مجهول داریم. اگر m>n آن گاه حداقل (m-n) معادله زائد می باشند. پس از حذف آنها، سیستم به تعداد کارایی از معادلات مستقل مانند کاهش خواهد یافت. برای حالتی که m=n باشد جواب میباشد و این نشان دهنده آن است که X همسایگی قابل قبول ندارد و فضای حل تنها از یک نقطه تشکیل یافته است. در اینجا این حالت موردنظر نیست و ما به بررسی حالت m < n میپردازیم.
چکیده
در سال 2002کوتاکموری و همکارانش روش گاوس ـ سایدل بهبود یافته را با پیش شرط ارایه دادند (در [8] می بینید). در این مقاله، روش ژاکوبی بهبود یافته را برای این پیش شرط ارایه دهیم. با قضیه مقایسه نشان می دهیم این روش از روش تکراری ژاکوبی سریع تر است. مثال های عددی برای نمایش توانایی های روش پیشنهادی ارایه شده اند.
کلمات کلیدی: دستگاه خطی پیش شرطی شده، M- ماتریس، پیششرط سازی، همگرایی، قضیه مقایسه.