اختصاصی از یارا فایل
دانلود با لینک مستقیم و پرسرعت .
فرمت فایل : word(قابل ویرایش)
تعداد صفحات:16
مقدمه:
در ابتدا اشاره‌ای کوتاه و جزئی به میدانهای گالوا (Galois field) داریم. میدانهای گالوا GF(p) مجموعه‌ای از p عنصر است که جمع و تفریق، ضرب و تقسیم روی آن اعمال می‌شود. بدون آنکه از آن مجموعه خارج شویم یعنی میدانها روی این اعمال بسته هستند.[2]
ثابت می‌شود برای هر عدد اول p و هر عدد صحیح میدانی خواهیم داشت از مرتبه pm را بصورت GF(pm) نمایش داده می‌شود. این میدان برای هرچند جمله‌ای مولد یکتا است.
در واقع GF(pm) یک بردار m بعدی است روی GF(p). هرمجموعه mتایی که نسبت به هم بطورخطی مستقل باشند را می‌توان به عنوان پایه‌های GF(pm) در نظر گرفت. مثلاً اگر a ریشة چندجمله‌ای ساده نشدنی مولد باشد مجموعه یک پایه برای GF(pm) خواهد بود.
پایه‌های مکمل (Complementary Basis):
پایه‌های و را روی GF(pm) در نظر بگیرید. درپایه فوق مکمل یا ارگان (dual) یکدیگر خواهند بود اگر:
که در آن
بعد از این تعریف به پایه‌های نرمال (Normal Basis)NB می‌رسیم. قبل از تعریف انواع NB ذکر قضیه Davenport ضروری بنظر می‌رسد:
هر میدان گالوا GF(pm) شامل یک عنصر اصلی است که یک NB روی آن می‌باشد. بنابراین قضیه مشخص شد که اولاً هر میدان گالوا GF(pm) دارای حداقل یک NB خواهد بود و ثانیاً یک NB بفرم می‌باشد. [1]
حال به تعریف دو نوع از NB می‌پردازیم.
در عمل بیشتر از دو نوع NB استفاده می‌کنیم: 1ـ ONB of type I 2ـ (ONB) optimal NB of type II
ONB of type I:
نوع اول ONB به وسیله ریشه‌های چندجمله‌ای ساده نشدنی AOP al-one polynomialy بوجود می‌آیند. یک AOP از درجه m به فرم زیر می‌باشد:
P(Z) = Zm+Zm-1+...+Z+1
AOP ساده نشدنی است اگر m+1 اول باشد و p ریشه اصلی (primitive element) در ماژول m+1 باشد در اینصورت ریشه‌های معادله بالا یعنی j=0,1,...m-1 و و ONB of type II را تشکیل می‌دهند [3]
ONB of type II:
با یک مثال ONB of type II را بیان می‌کنیم:
به میدان GF(25) که توسط چند جمله‌ای ساده نشدنی ساخته شده، توجه کنید. ریشه F(Z) می‌باشد یعنی فرض می‌کنیم در اینصورت مجموعه ONB of type II خواهد بود.
در قسمت بعدی با استفاده از ماتریس حاصلضرب تعریف دقیقتری از ONB خواهیم دید.
اگر NB برای GF(2m) روی GF(2) باشد، هر عنصر GF(2m) مثل قابل بیان است به فرم .
مهمترین مزیت استفاده از NB برای بیان عناصر مختلف GF(pm)، نشان دادن این قضیه است که: توان دوم هر عنصر A=GF(pm) به راحتی با یک واحد شیفت و بسمت راست بدست می‌آید. [4]
